史宁中：面向未来的小学数学课程与教学改革——《义务教育数学课程标准最新修订解读》

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专家讲座

现在我先讲第一个问题,小学阶段的数学核心素养。在上一次讲座中,我们非常认真地回顾了这个世纪教育教学改革,特别是强调了三个方面：一是从教学大纲到课程标准的变化,这个变化带来了教育理念的变化,就是以知识为本到以人为本,并且课程目标也发生了很大的变化,就是从一维目标到三维目标。上次还特别讲到，三维目标的过程性目标逐渐演变了数学课程标准从双基到四基,从两能到四能,并且讲到了最近非常强调的数学核心素养的培养。这一次讲座，我们直接从数学核心素养开始讲起,在上次高中课标中,基本把数学核心素养定义为具有数学基本特征的关键能力、思维品质以及情感、态度与价值观的综合体现。

无论如何我们应该知道，所谓的数学核心素养是指我们经过数学的教育,我们培养的人应该是什么样。应该是什么样，主要是指行为的有关问题,比如说如何思考问题,如何做事情,并且我们知道,核心素养的培养是在学生参与其中的教学活动中逐步形成和发展的，这是教育过程。在这一次讨论义教课标修订的时候,我们进一步认为，数学核心素养具有一致性和发展性。一致性，就是说无论是从小学、初中、高中,甚至到大学,我们所说的核心素养应当是一致的,因为这是数学教育的终极目标。同时它又有发展性或者说阶段性,就是说数学核心素养在小学阶段、初中阶段、高中阶段和大学阶段的表现是不一样,是不同的。

现在，我们逐渐地把数学核心素养集中到“三会”上,就是会用数学的眼光观察现实世界,会用数学的思维思考现实世界,会用数学的语言表达现实世界。

关于情感、态度、价值观,主要有六个方面,比如学习的兴趣和学习的习惯,这两条已经写在课程目标中,还有应用意识和创新意识,作为核心素养的一个具体表现也写在课标中,还有科学精神和社会责任感,作为素养的解释也写在课标中。

数学的眼光是什么呢？数学的眼光主要是数学的抽象,这样使得数学有个基本特征,就是数学的一般性。数学的思维是什么呢？主要是逻辑推理,这样的话使得数学就具有了严谨性。数学语言主要指数学模型，因为现在的数学应用大部分是以模型的形式应用于各个学科,因此使得数学具有了应用的广泛性。虽然数学眼光、数学思维、数学语言是这样,但是在各个阶段表现是不一定一样，不完全一样。我们基本思考是这样的（这供各位老师参考）：就是在低学段数学核心素养表现的更加具体,更加侧重于意识,在高学段可能表现的更加一般,更加侧重能力。根据这个原则，核心素养的表现在高中有6个；在初中有7个；在小学有9个，再加上应用意识和创新意识，在小学的表现就有11个。我们看看是怎么构成的。

数学的眼光在高中是数学抽象，到初中强调有抽象的意识就行，但是在小学阶段就更加具体了，数学的眼光主要表现于符号的意识，表现于数感，表现于量感；数学眼光在高中还有直观想象，那么在初中是空间观念和几何直观，在小学就是空间意识和几何直观。这里，需要稍微说明一下：意识和观念是有所不同的。意识更侧重于直观，有这个思维的想法，有这个动作的前提就认为是可以了；而观念是建立在概念的基础上，因此观念要比意识更一般一些。同样的道理，在初中强调推理能力，那么在小学现在要强调推理意识；在初中强调模型思想，那么在小学强调模型意识；在初中强调数据观念，在小学就强调数据意识。希望老师能够大概的能够感悟到区别。总体来说，就是小学更加具体，更加侧重于意识，更加侧重于一种感觉，而不是建立在概念基础上的东西。

下面讲一下小学数学课程的变化趋势。无论是小学还是初中，都包括四个领域：数与代数，图形与几何，统计与概率，综合与实践，这四个领域没有变化。但是，为了更好地适用于四基的教学，或者进一步说更好地适用于核心素养的教学，这次课标修订有个总体趋势是这样：在数与代数中要强调整体性和一致性（下面我会专门来谈这个事情），并且把负数、方程、反比例移到初中去（下面我也会谈移到初中的理由是什么）；在图形与几何中,更加强调几何直观,这样的话就增加了尺规作图的内容。增加尺规作图有一个最重要最重要的事情,就是在小学数学中要增加一些操作,让学生在这个操作的过程中感悟数学的本质,感悟数学这个概念对研究对象之间的关系，这件事情很重要。

我曾经讲过一件事情,我现在再重复一下,我希望无论未来教材写不写,在小学三、四年级的教学中大概都要教一下拆盒子。什么叫拆盒子呢？就是在小学三年级，把一个立体的直方的盒子拆开,让孩子们看一下拆开之后，这个折的那个线在平面上的表现是如何的。如果可能的话，在四年级，在一张纸上把一些你想象好的图像是什么样的,在这个纸上把这个要出现的印儿画出来,然后叠起来,看看最后叠出来的东西跟你想的是不是一样,在这样的过程中能够培养学生的想象力。在小孩子阶段培养想象力是非常重要的。

我曾经经历过这样的一件事情,我们附中高中的数学老师,也是我的学生,他有一次问我,他说老师为什么现在许多孩子这个空间观念这么不好，学习立体几何很困难？我说你查一下,是不是没有附小的孩子？后来他查一下,确实没有附小的孩子。我说很重要的原因,附小在三、四年级中教这个孩子拆盒子,让他建立起空间观念,这是非常重要的一件事情。因此小学老师啊,应该明白一件事情,就是说你教的东西不一定马上就能见效,但是你教给孩子是对数学或者对几何的一个感觉,这个感觉在他未来学习中就会起到作用,在这个意义上小学教学是非常重要的,并且小学教学也是非常困难的，老师一定要知道这一点！ 

为了同样的目的,我们这一次在课标中明确地加入了尺规作图的内容。只有两个要求：第一个要求,在三年级或者四年级（我看大部分教材大概都是放在三年级）,就是给定一条线段,让你画出同样长的线段,过去这样的问题我们是用尺子量的,2cm、3cm……现在光用尺子量可能还是不行,应该要得到数学表达的一般性,那么我们就用尺规作图,用圆规量出这个长度,让孩子感悟到用圆规能够测量长度。这件事情很重要。如果在三、四年级孩子能感悟到这一点的话,那么到五、六年级讲圆的时候，学生就能非常清楚地知道——圆上的点到圆心的距离是相等的，就是这个感觉,甚至这个定义学生都能给出来,所以，在三、四年级给出这个感觉是很重要的。我现在不知道教材未来的编写是什么样的,无论如何老师们可以知道这件事情,也可以尝试着做这件事情。比如，给出一条线段作相同长的这个线段；会作的话，那么你就可以进一步提出这样的问题,给一条线段作一个等边三角形；或者进一步,给两条线段作等腰三角形。给两条线段作等腰三角形时，老师会注意到,不一定哪条边都能够成为腰的,因为三角形需要两边之和大于第三边,因此在这个过程中学生能够逐渐地感悟到三角形的两边之和大于第三边,就是有些结论不一定都必须是老师教的。学生在自己操作的过程中感悟到并且得到这样的结论,这样的教学是非常重要的；而且能够培养学生对数学的一个感觉,这对未来学习数学是非常有好处的。

第二个要求，就是把三角形的三条边长首尾相接落在一条直线上，使孩子们感悟到什么是三角形的周长。大家可能在教学中已经碰到这样的问题，就是在讲三角形的周长和三角形的面积的时候，学生很难理解周长和面积是怎么回事。通过尺规作图形象地表达出来，这样的话能对孩子直观理解有好处，所以，我们这次就是为了培养几何直观，增加了尺规作图的内容。

在概率统计这儿没有很大的变化，但是把百分数过去在数与代数的内容，现在放在统计里了。这个变化也是非常重要，这个变化在某种程度上是适应大数据时代的要求。因为在大数据时代很多事情的表现是以百分数的形式表现的，比如大家很关心的问题有多少人在关心呢？大家对某一个问题的看法有（多少人）百分之多少？大部分数据形式以百分数的形式出现。因此，这样的百分数和我们传统教的百分数是有所区别的，区别在哪里呢？区别在这个地方：无论如何，百分数都是一个统一的数量单位，是数的倍数关系的表达。但是有两种表达：一种是我们过去所教的，是相对稳定的表达。什么意思呢？过去我们教一种饮料中果汁的含量占百分之多少，这在某种意义上是相对稳定的，包括税率、利息、折扣这样的都是相对稳定的。但是，事实上在我们的日常生活中大量的（百分数）是随机的，比如投篮的罚中的命中率，每一次就不一定是一样的；下雨的概率也不一定是一样的。可能是下雨的概率天气预报说90%，你可能带雨伞，说60%，你可能就不带雨伞。概率是不一样的，包括经济增长率。

我们现在跟教材的编写者建议了这么两件事，就是用百分数，学生能够用于决策（不光是学生决策），国家也能够用百分数进行决策。比如蓝天改造计划。蓝天改造计划是怎么规定的呢？是这么规定的，把中国30多个省的省会蓝天的数量统计起来占一年的百分之多少，然后按照蓝天数量的由少到多进行排队，大概是在80%那个地方作为国家的要求，这意味着80%的达到了；其他的一些没达到的，要进行努力要达到这个标准。再比如，有一次在清华附小，我建议他们做这样的一个课：把数学、体育、语文能够放在一起，这样的一门课。比如，在体育课，这个问题是：四年级的学生跳绳跳多少个是四年级学生的标准呢？有这样的一个问题。第一堂课是上体育课，让学生们跳绳，每个同学可以跳一次、可以跳两次、跳三次，用平均，这样的话把孩子们跳绳的平均数记下来。在数学课呢，把这些跳绳的数量由少到多进行排队，然后引发学生讨论：我们如何根据这个数据来制定我们这个学校四年级学生跳绳的标准？让学生讲出理由来。你可以要前25%跳绳的数量，可以要一半儿，也可以要75%，只要你能讲出合适的理由就可以。然后，语文课，把学生的这些东西作为一个实验报告或者作为一个记述文写下来。像这样的培养，对于学生能够把数学的知识和日常生活联系得更加紧密，学生能够更好地体会数学的意义。因此，在综合与实践，加强与其他学科的融合，与生活、与传统文化的联系（我下面会谈到）。这次，比较常强调数学与传统文化的联系。

这次修订的基本思路是什么？就是总体的思路是什么呢？就是加强几何直观，要加强代数推理。加强几何直观，我刚才已经讲到。加强代数推理，主要表现在整体性和一致性，我下面还会仔细地来谈这个问题。因此根据这样的变化，我们的老师应该知道——你所教授的数学知识的本质是什么，并且还要知道——这些数学知识所蕴含的数学核心素养是什么，这样你才能在教学过程中能够凸显数学的本质，让学生感悟其中所蕴含的数学核心素养。

在综合与实践中，把我们过去所说的常见的量都放在其中，这样的话就丰富了综合与实践的内容。常见的量，除了长度之外，其他的量都是人为规定的那些量，放在综合与实践（其实长度也是人为规定的）。比如，第一学段认识人民币，认识时分秒，再认识上下左右、东西南北，这些认识都归一个主题活动。在课标中给出了这样的主题活动，但是，是建议供教学教材编写参考，也供老师教学参考。如果你们不是这样的主题活动，无论如何要把这些内容放进去，你可以设计一个其他的主题，以主题活动的形式把这些内容表现出来。

比如，第二学段。第二学段就进一步感悟年月日了，并且讲了曹冲称象的故事。大家未来看课标，课标凡是谈什么什么的故事的话，往往都跟传统文化联系起来。曹冲称象的故事，老师应该知道这一点，不光是从这个故事来认识重量单位，不光是这样；还应该感悟其中的数学的思想是什么。曹冲称象为什么是可行的呢？它最起码有两个：一个是等量的等量相等。就是说，无论是象把船沉到多少，还是石头把船沉到多少，只要沉到相同的地方的时候，重量是相同的，就是等量的等量相等。还要知道一件事情，总量等于分量的和。就是说象太大，称不了，那么要用一些石头放在一起得到跟象同样的重量，然后再分别计算这些石头的重量，得到总的重量。这是总量等于分量的和，就是曹冲称象中所蕴含的这个数学。因此，我们数学讲传统的故事、传统文化，其实要讲出是如何用数学的眼光来看这个问题，这是非常重要的。

再比如，度量衡的故事。度量衡的故事主要是讲秦始皇统一度量衡，其实无论是度、量、衡，都是人为规定的一些东西。比如在秦始皇时代所说的尺，是成人一na的长度，孔子家语中说了这个。所谓的升，是容积单位，是一捧，一捧东西能捧多少，这个单位叫做升。重量单位，最小的单位是铢，铢是指什么呢？是黍，是指大黄米，100粒大黄米的重量称为1铢，然后是两、斤。所以，无论如何，在过去，所有的度量单位都是人为规定的，而且往往用的都是身边的东西规定的。后来，是为了大家能够统一起来，才定义了新的度量单位，比如定义了米、定义了公升、定义了公斤等等。

还有一个，就是第三学段。第三学段就更加复杂一些了，比如做校园的平面图啦，营养午餐啦等等。我曾经尝试在附小要做一个这样的课，我发现这样的课不太好上，所以呀，这样的课也给老师提供了很好的表现能力的舞台。这个要进行可操作的教学设计，还要进行如何启发学生思考的教学设计，这里有很多问题是比较困难的，因此也是未来改革很重要的一方面。

第三，讲第三个问题，关注数学课程的整体性与致性，这个整体性、一致性主要是针对数与代数。数与代数这个内容现在只有两个主题了：一个是数与运算，一个是数量关系。过去有4个主题：数的认识和数字运算是分两个主题，还有常见的量（刚才我已经说到了，分到了综合与实践），现在建立一个新的，是强调数量关系，并且把负数、方程、反比例移到初中。

我稍微讲一下，移到初中的理由是什么。顺便说一下，我们教学的基本原则（这次课改之后或者新的课标发布之后，对于教学提的基本原则是什么）。这个基本原则已经跟教材编写的老师们谈到，他们可能会在教材中来做实践这样的原则。

第一个原则，不单纯介绍概念。就是说，像过去说角的概念，从一点引出的两条射线所组成的图形叫做角；然后，不比较角的大小；也不讲角的计算。这样的话，这样的教学也是不好的。因此，要讲了概念之后，就一定要讲它的性质或者比较大小，这是很重要的。那么，基于这样的原则，就把负数这个事情移到初中。大家回想过去教的负数，只是认识了负数，并连负数大小的比较都没有教，如果是这样的话，那就不教了。就是，概念的引入，单纯的教概念这件事情我们就不教了。

第二个原则，不单纯介绍方法。就是说，一个新的方法的引入，要让孩子感悟必要性。因此，跟概念的教学一样，我们的整个教育，未来不是为了教而教，而是让学生感悟到：一个新的概念的引入或者一个方法的引入是有必要性的。无论是认识世界的必要性，理解事情的必要性，还是表达世界的必要性，无论是哪个必要性，都让孩子感悟这个必要性。

这样的话，把方程移到初中的理由就是这样的：第一，过去在小学数学中用字母表示数讲的很少，有的只讲半堂课，有的最多只讲一堂课，这是不可以的。过去在小学数学中，似乎字母表示数主要是表示未知数，这是不对的，表示未知数还是算术，因为表示未知数在古希腊的时候就有了。而从算术变成代数，最重要的是用字母来表示方程的系数，就是用字母能够一般性的表示数（我下面还会谈这个事情）。这次课标中，未来的教材中，一定要加强字母表示数的内容。因此，过去的教学，还是没有代数的思想，在本质上没有引入代数；过去那个简易方程，没有引入代数的思想；还有，过去的简易方程没有让学生感悟学习方程的必要性。如果要引入方程，必须要让学生感觉到：用传统的算术的方法，计算起来非常困难的时候，才引入方程，让学生感悟引入方程的必要性。比如，我们过去讲简单方程或叫简易方程，5-x=2,这是不是方程呢？这确实是方程。但是建立这样的方程没有故事、没有背景。你很难编一个5-x=2的方程的背景，为什么呢？方程是要讲两个故事，两个故事量相等，就是等号两边是表示两个量的等量关系，而不是运算的等量关系。比如2x-x=x，这个时候的等号是运算的等量关系。这是不一样的。比如5-x=2，这件事情你要编题的话，你只能编出：树上有5只鸟，飞了几只，还剩2只，问飞了几只鸟。这原来是减法的问题，现在你要应用方程来解，这让孩子们感悟到多此一举。特别是，教这样的方程，没有带来便捷，可能还会带来麻烦，所以这样的东西，我们也就不教了。移到初中去教，到初中反而好办（下回谈到为什么到初中反而好办）。

这样的话，我们加强对自然数、对整数、然后对字母表示数的理解，这个理解其中跟核心素养挂钩的，或者跟数学思想挂钩的东西是这样的：比如，自然数。自然数从2匹马、2粒米，抽象到2个小方块儿，抽象到2，这个过程是非常重要的过程。我曾经讲过这个故事，你们在生活中也会体现到这样的故事，就有许多小孩儿分不清3和4，为什么分不清3和4呢？因为在讲的时候，在讲数（shù）的人，会把3讲成3个苹果，把4讲成4个梨，如果这样讲的话，孩子就很难能够理解3和4的区别。应该抽象出来，舍去事物后面的背景。数学是抽象的，在这个过程中，让孩子们感悟到数学抽象的过程。抽象过程要分两步走：第一步，把两匹马、两粒米抽象到两个小方块儿，这样的话就舍去了背景，但还是有背景，所以我们把这样的抽象叫做感性具体到感性一般。就是两匹马、两粒米是感性的具体，两个小方块儿是感性的一般，还是感性的东西，还有具体的存在，我们把这个称为简约阶段。然后，再由两个小方块儿抽象到2，这是用符号表达，是感性一般到理性具体，叫做符号阶段。因此在这个抽象过程中，在形式上是去掉了数量的名词，用符号表示数，在实质上是舍弃了事物的背景，使得数具有一般性。这个思想是很重要的。数学研究的东西都是抽象的东西。抽象的东西是指什么呢？就是指舍去了事物的一切的物理背景，只留下数和形的研究。因此它针对的数学核心素养就是数感，就是符号意识。在初中，我们把这个感觉进一步表达为抽象意识，这个过程是很重要的。因此，未来教学过程中，在这样的过程中，逐渐地让孩子们感悟什么东西呢？在小学阶段说的是数感、符号意识，在老师头脑中一定知道这是一个抽象的过程，数学研究的东西是抽象的，感悟到数是一种表达，是对数量的抽象。

比如，运算。关于运算的问题这里有两种方法，比如3+1=4，你可以用计数的方法，因为4=3+1，所以3+1=4。你可以这么讲，但是无论如何你要用对应的方法再讲一次。就是说什么呢？人教教材现在已经开始这样写了:猴哥哥和猴妹妹摘桃，猴妹妹摘了3个桃，猴哥哥摘了4个桃。谁摘的多？孩子们已经学过3和4，并且知道（4比3大）4＞3，因此猴哥哥摘的多。那么，在猴妹妹的筐里再加1个，谁摘的多呢？一样多，就是3+1=4。这样的表达有什么好处呢？这样的表达，让孩子们感觉到等号是什么意思，这是很重要的，这是加法意义的最根本，就是数是一个一个多起来的，在这个过程中建立数感、建立符号意识。

因此，在这个意义上，我想应该是不是先讲1到9，然后把10和0单独来讲？这个过程要认识数位啊。因此，现在，供老师参考。那么，认识数的一致性是什么呢？认识数的一致性，就是知道数跟数位的表达很重要，在同样的数位上才能比较大小；运算的一致性，在同样的数位上才能进行加减运算。这件事情，我们在整数中谈的很多了，但是在分数和小数中谈的不够（我下面还会说这个问题）。那么，理解运算的整体性是指什么呢？运算的整体性，其实老师在教学中也是这么教的，就是把这句话在适当的时候怎么说出来。比如减法是加法的逆运算，老师在教减法的时候，一直在说“算减法，就要想加法”，“ 算除法时要想乘法”，还有一条就是乘法是加法的简便运算，横式比竖式重要，这个是非常大的一件事情。这件事情过去在教材中没有表现，没有表达，这个表达可能有些困难，但是无论如何，这个表达还是重要的。

比如25×12，在教材中直接就给竖式进行运算，这是不行的，那是算法，你只教了算法，没有教算理。它的算理是什么呢？这个算理是把后面两项要变成和的形式，12变成2+10，这个有点儿别扭，因为传统的认为是10+2，但我们现在教的竖式是2+10，因此用到分配律，就是教了这个：25×2，这是竖式的第一项；25×10，是竖式的第二项。这样的话，竖式的算理就出来了。知道了算理之后，以后计算就不用算理计算了，就用算法计算，这是一个基本原则，就是我们无论如何要让孩子们知道算法的算理。知道算理之后，在具体计算的时候，只用算法，不用算理。因为，用算法还是快，但是不知道算法的道理，我们的孩子未来就不知道数学的本质，未来就缺乏了创造性，所以这个还是需要的。在这个过程中要用到的分配律，我们这次有个原则，就是没介绍的概念也可以讲。比如，字母表示数没讲，你先用字母表示数是可以的。比如，分配律，一开始没有用那个符号的形式表达分配律，但是也可以用到分配律。

分配律用的比较多的是先乘除后加减的问题。这个问题，最近还有包括教材的编写老师也提出这个问题。现在，我想再解释一下，就是先乘除后加减的问题。有两个问题，差别在这儿，一个有括号，一个没有括号，有括号先算括号里的，没有括号就先算乘法。怎么来解释这件事情呢？我认为最好的是用讲故事的方法。比如：操场上来了一队同学，每排3名男同学，2名女同学，一共4排。问有多少名同学？我现在想建议老师：在教学过程中，这句话一开始不是每道题都说，但是一开始一定要说这个，就是从头儿开始是非常重要的。孩子们养成这个思路之后，做题不会错。就是，在给出具体算式之前，在学生的头脑中形成这个，就是：同学后来的数量＝每排的人数×排数，然后就是填空，所以他不会错，很少会错。那每排的人数是多少呢？是3+2，所以要用括号，所以你得先算括号里的。而对后一种形式，这个题是什么样的呢？是这样的。操场上原来就有3名同学，后来来了一队同学， 2名同学一排，一共4排，问现在操场上有几名同学？这个时候学生脑袋里想成了这句话应该是这样的，这个是起点，同学的数是原来的数加上后来的，原来是3个人，后来是一队，一队是每排2个人，一共4排是8个人，因此得先乘除后加减。如果这个问题还不明白的话，那么就用乘法的定义，那么就是简便运算，（3+2）×4，就是4个括号的相加，所以得先算括号里的；而后面这个是原来的数加上简便运算，所以得这么算。无论如何，在这个过程中，让孩子们理解先乘除后加减的道理，并且能够理解分配律，是很重要的一件事情。这个是算式。

然后啊，下面就是个问题了。教书教到哪儿比较合适？如果你觉得你们那块儿的孩子能力还比较强的话，我想你教完了两位数乘一位数，那么两位数乘两位数是否能让孩子们自己得到？如果不行的话，那么教完了三位数乘一位数之后，是不是三位数乘两位数一定让孩子自己得到(如何算)计算的方法？这个，孩子能够得到，在这个过程中，他能够感悟到这个乐趣儿，能激发他们学习数学的兴趣，这是非常重要的，并且让孩子们感悟一个数学的基本道理。数学的基本道理，就是从未知到已知，就是说你不会算的东西，怎么办呢？化成你会算的东西，然后进行计算，这是数学基本的思想方法之一。所以这个让孩子们在具体中感悟这件事情。

那么如何认识数？比如：认识数的关键是10个符号，因为是十进制的，是10个符号和数位。那么如何读数呢？不用教的那么复杂，后面一个零怎么办？中间一个零怎么办？中间两个零怎么办？其实不用。怎么读数呢？就是用这个符号的名称读出数位就可以了，比如，这个2002，两千零百零十二个，就这么读就可以，这样的话，教学非常清楚。不要把简单的东西教麻烦，而是尽可能地用简单的语言、用朴素的语言,把这个数学的本质说出来，这是非常重要的。你要不嫌麻烦，你就这么读；你要嫌麻烦，你就读两千零二，就完了，其实就是这么回事。

下一个重要的事情，就是认识数的整体性，就是把整数的计数单位，拓展到分数和小数，这是很重要的。我们教学，不认识这个一致性是不可以的。比如，分数2/3的数位是1/3，认识数位的一致性（我们开始说到了），在同样的数位上才能比较大小，这是一致性，所以这个很重要。比如我们教科书讲了，在认识分数之后，讲了分母一样的分数的比较，还讲了分子一样的分数比较大小，光教到：1/2和1/3，因为分子是一样的，所以分母大的分数小，所以1/2＞1/3，教到这儿是不行的。所以我已经跟教材编写者谈到：这个道理不清楚，1/2和1/3不能比较大小。那怎么比较大小呢？应该这样比较大小，是在同样的数位上才能比较大小，因此要变成同样的数位，就是说把分两份的，每一份再分3份，这样的话变成6份，把分3份的每份分两份也变成6份。这样，1/2就变成了3/6，1/3就变成了2/6，三个1/6一定大于两个1/6，因此1/2＞1/3。因此，教到分数比较大小的时候，最起码在一开始得教到这个程度，这样的话，得到相同的单位，在相同单位下进行比较大小，这是数学的基本原则。顺便在这个时候啊，老师可以稍微的提一下：分子、分母同乘一个数，分数不变，这个为未来讲商不变打下了基础，所以这个数学教育，是一环扣一环的，这是非常重要的一件事情。因此，在这儿，我提一个建议：就是以后这个备课，一定从一年级到六年级一块儿备课，在哪一块儿讲什么，它们相互之间的照应是什么，这个大概是重要的，不能各讲各的。比如，小数的单位。小数的单位0.1是1/10，0.01是1/100（百分之一），这得讲下去，甚至要讲0.001是1/1000（千分之一），这也是十进制的。我前几天给人教版的提一个建议，我现在也提一个建议，你们老师脑子里形成这件事情，就是十进制这件事情是很重要的。十进制的时候，我们都知道整数的数位是10个个位是十位，10个十位是百位，10个百位是千位；下面再创造一个语言，说小数的，就是“1/10的1/10是1/100（百分之一），1/10的1/100（百分之一）是1/1000（千分之一）”。这样的话，把小数的数位就强调出来，这样的话为初中用小数表达有理数就奠定了基础。

现在讲一下，小学数与代数教学的难点是分数与小数的除法。分数和小数除法这块儿讲的，我后来仔细发现是整数除以整数没讲透，使得分数的除法和小数的除法就讲得很别扭了，并且它们各讲各的理儿，分数的除法讲分数除法的理儿，小数除法讲小数除法的理儿。比如分数的除法，有的教材是这么写的，先讲1÷1/2=2,就是一个东西有两个1/2，（1÷1/2）等于2；然后怎么讲5÷1/2呢？5÷1/2=5×1÷1/2=5×(1÷1/2)，1÷1/2=2已经知道了，所以就变成了5×2,其实这个是对的，但是你讲不清楚这个理儿；那么，同样的道理，5÷1=5，那么，5÷1/2=5÷1÷1/2=5÷(1÷1/2)=5÷2，如果是这样的话，那么变成5除以2了。到底是5乘2对？还是5除以2对？这个问题就大了，当然是你能把后面这个理讲清楚，这块儿除得变成乘，你要能把这个讲清楚比你讲这个除法要难得多的多，这样的话，你绝对不允许用一个难的东西来讲一个简单的事情，这是不允许的。在数学我们整个教学中，只出现了加法和乘法的分配律，连减法都没有出现，我们现在居然要讨论除法和乘法，这谈何容易，所以不能用这个复杂的东西来教简单的事情，这是不行的。

还有一个，在小数除法中用商不变来讲，那到底是哪个道理是真？整数除法有整数除法的道理，分数除法有分数除法的道理，小数除法有小数除法的道理，到底哪个道理呢？数学是各讲各的理儿吗？数学还是整体的，还是一致的，这个问题很大，这个问题不能给学生造成一个错觉。我曾经让吴正宪老师去给小学六年级讲数学的一致性，讲完之后，学生非常高兴，学生用了一句话叫做醍醐灌顶，他说终于知道了数学讲的是一回事情。我们必须让孩子们知道数学讲的是一件事情，不是讲好几件事情。

其实这个教学忽略了一点，就是都是与除法有关，就是整数乘整数能够写成分数的形式这个没讲，还有整数除以整数是小数这件事情没有讲。在讲分数除法之前，要进一步地理解整数除法，或者回顾整数除法。就是，为什么4÷3可以写成4/3呢？这件事情没有讲，这是个大事情。为什么可以写成分数形式呢？其实中间缺了一个步骤，4÷3= 4×1/3，我们刚才讲了是分数的单位，因此4乘1/3就是4个1/3单位，因此就是4/3，所以后面的等号是源于分数的定义。那么，前头这个等号源于什么事情呢？前头的等号是源于除法是乘法的逆运算。这个时候，在讲这件事情的时候，我们要讲两个基本事实，在课标的内容中没说这是基本事实，但是在教学建议中谈到了基本事实这件事情，课标中只要求了等号的基本事实，其实这个基本事实对于不等号也是成立的。老师在教学中可以根据内容适当地来让孩子们知道这件事情，就是一个是传递性，a=b,b=c,则a=c，刚才我再次讲曹冲称象的时候已经谈到这一点。还有一个等式的性质，就是a=b，那么a+c=b+c，当然不等式也是成立的。在课标中这两个事实写进去了，在内容中没说是基本事实，但在教学建议中说了，这是基本事实，因此在老师的头脑中一定要知道这是基本事实，这是不证明的事情，其实事实上这个东西也无法证明，这是现实存在的，确实对现实很多事情对共性的抽象。

下面我们来说这个事情为什么啊？4÷2=a，这件事情说的是什么呢？除法是乘法的逆运算，所以这件事情说的是4=2×a，根据这次逆运算，根据等式的性质，两边都乘，它不变，那么就变成4×1/2=2×a×1/2，1/2和2约掉了，变成4×1/2=a，这个a（4×1/2=a）和这个a（4÷2=a）是相等的，所以4÷2 =4×1/2，根据逆运算，根据等式的性质，根据等量的等量相等，我们就得到了这个结论。这个东西讲给孩子听，会怎么样呢？我们在附小试了一下，四年级、五年级的孩子理解这个一点问题没有，而且孩子们很高兴，好像感觉数学是挺讲理的一件事情，这个很重要。如果这个结论出现了的话，那么就把这个结果引入倒数的概念的话，这个结果就变成了4÷3等于4乘上3的倒数，这样的话，分数的问题就迎刃而解，4÷1/3等于4乘分数1/3的倒数，即4×3，这个结论就出来了。

然后是整数的乘除法。整数乘除法，建议化成整数的形式，化成十进制的形式，因此，0.4×0.2是4/10×2/10，这个是:数与数运算，单位与单位运算，就等于8/100(百分之八)，等于0.08。因此，乘法的时候，单位与单位运算这件事情是很重要的，跟整数一样，比如40×20，你是不是拿4×2，后面是十乘十等于一百这么来算。如果那个意义是一样的话，同样的道理，小数乘法跟整数是一回事，所以应该把整数的运算拓展到小数来，这样的话得到了算法，算法是什么呢？算法就是（小数）乘法是乘数小数点的个数相加。那除法怎么办呢？除法就根据刚才分数的道理把它变成乘倒数，0.04÷0.2=4/100÷2/10=4/100×10/2，倒数的话，这个就是相约，约了之后，就是整数和整数相除，单位与单位相除，这样的话就得到这个结果0.2。因此就变成了0.04÷0.2=4/100÷2/10=4/100×10/2=4/2×1/10=0.2，它的算法是什么呢？与乘法对应，小数除以小数是小数点的个数相减。这个相减有个特殊情况，如果像这种情况（0.04÷0.2）小数点后两位减一位够减的话，那么还是变成小数点后一位；如果小数点后一位，这个是两位不够减的话（0.4÷0.02），那么增加个0（0.4÷0.02=20），让孩子感觉到这一点就行。这样的话，运算就很少会出现错误。这样的话，我们看到，无论是小数的运算还是分数的运算，其实本质上都回归到了整数的运算。因此，在进行小数的运算和分数的运算，特别是除法运算之前，回顾一下整数的运算是有必要的，这样的话就强调了整体性。

这回不讲方程了。不讲方程了，但是要加强字母表示数。刚才我已经说了，在古希腊就用字母表示未知数，因此还是算术。只有从韦达开始，用字母表示方程的系数，代数才是开始。这样的话，让孩子感悟两件事情。这块儿是首先抽象达到一个更高的层次（我们刚才说了抽象有个简约阶段，有个符号阶段），现在用字母表示数就从理性具体上升到了理性一般，就是一个普适阶段。这样的话，让学生知道字母可以像数一样进行运算，用字母运算得到的结果是具有一般性的，比如a+b=b+a，只有这么表达才具有一般性。2+3=3+2，7+8=8+7……无论表达多少，都是个案。这样的话，数学抽象，到小学、到这里就达到抽象的任务了，到初中阶段更加一般的抽象。因此字母表示数（这个我已经讲过几次了），要学会用字母表示关系。比如，小明的爸爸比小明大30岁，如果小明是a岁，爸爸是b岁，那么爸爸的岁数和小明岁数的关系是这样的（b=a+30），可以用字母来表达；比如可以表示规律，一辆汽车以每小时60公里速度行驶，t小时后走了s公里，那么就得到了规律s=60t。

比较难理解的大概是这个，就是表达性质。我不知道小学生会不会理解。比如, n表示正整数的话，2n表示偶数，那么2n+1就表示奇数，像这样的用符号表示性质的，这样的数学表达、符号表达，我现在不太清楚，你们可以试一下，孩子能不能懂。无论如何，没讲字母表示数之前，可以让孩子们感悟字母表示数；然后在诸多感悟之后再把它们的共性抽象出来，得到概念，这是认识事物的一种基本的思维方法，从具体的到一般的。比如，从低年级就可以感悟，5-□=2，这个事情等价于5= 2+□。等到三、四年级,这个小方块儿是不可以放个字母a呀，5-a=2，就是5=2+a。就是这样的,逐渐地变成了a-b=c，就是a=b+c。

现在我讲最后一个问题，就是要关注学生思维能力的培养，这件事情很重要。因为，我们这次强调四基也好，强调核心素养也好，强调四能也好，其实关键就是在课堂上要引发学生思考。这样，就要求老师能够创造合适的情境，提出合适的问题，引发学生思考；或者在教学过程中，让同学们相互思考，相互讨论，来启发孩子们的思考；或者让孩子们到黑板上来讲一讲，来启发孩子们的思考，这都是可以的。无论如何，启发式教学很重要，这是一个很根本的一个原则。

在这次课标中，把三个基本事实说得更加清楚，虽然课标中并没有明确地说这是基本事实（我刚才说了），但在教学建议中说了。三个基本事实，刚才谈到一个传递性，一个等式的性质，还有一个就是两点间直线段最短。过去，这个基本事实没有用。这次可以在教材编写（也不知道最后是怎么样）、可以在教材、在教学中稍微尝试一下。比如，两边之和大于第三边。两边之和大于第三边，老师教学都是操作的（手势比划），进行这样操作，再往下落下来，落下来，然后两边之和大于第三边，这个事实啊（我刚才说了）、这个结果可以让孩子们感悟。比如刚才我说了，给两条线段作个等腰三角形，老师在这个时候，如果那个课是在三年级或者四年级讲的话，那么到六年级讲这个课的时候，老师可以回顾这个问题：给两条线段作等腰三角形，线段长度是什么样的情况下作出什么样的三角形？老师甚至可以提出这样的问题：这两条线段的长度有什么关系的时候，无论哪条线段作腰，哪条线段作底都可以？能满足这个情况的这两条线段之间、长度之间有什么关系呢？这样的话，孩子们就能感悟出两边之和大于第三边，然后感悟之后，最后啊，老师啊，可以总结一下这个事情，因为我们讲过两点间直线段最短，那么三角形是这两条边是个折线，所以两点间既然直线段最短，那么折线肯定也大于直线段，就是稍微讲一下。这就是我们在这一次，义教修改小学阶段，提到推理意识的这么一个想法：就是稍微帮孩子们建立一下，不都是从直观看出来的，多少有一些逻辑思维的因素在这个里头，这个推理意识。比如，加一个数比原来的数大。这件事情是指什么事？比如5＞0，不等号两边加上同样的数，不等号不变（a+5＞a），这个是推理意识。

这样的教学，包括这样的考核跟过去有所不同了。过去你要只考概念的话，往往是靠背，这样的话，你出这个题呀，可能说三角形的内角和，画一杠，让学生填这块儿是180度，填这件事情，这个大部分是在记忆层面。如果要考思维层面的话，这道题可以稍微改一下，如果一个三角形不是直角三角形的话，那么它至多有几个钝角？或者是，至少有几个锐角？像这样的话，就是比知道180度的前提下，稍微有一点儿逻辑推理的意识在里头。

甚至可以出这样的问题。这个三角形里头有一点把这两条边连起来，这样的话得到两个三角形，这两个三角形的一个特点就是这个底边是共同的。因此一眼就能看出来这个角比这个角大。

那么，如何来说明这件事情？就是说，孩子能不能懂这件事情？你们可以在六年级试一下。如果a+b=c+d的话，那么a<c→b>d。这件事和这个道理是一样的，它们都是180度，因为∠ABC＞∠DBC，∠ACB＞∠DCB，所以，∠D＞∠A,就是这个道理,这样的逻辑推理。所以，我们要加强代数推理的意识就在这儿。就是，推理这件事情不仅仅几何才有，代数中也有推理，并且老师们可以看到这样的推理是更接近于生活的推理，在这更接近日常生活中就有这样的推理，所以这样的推理的教学是有必要的。当然，更困难的问题是来论证线段AB+AC>DB+DC，眼看这个结论是正确的，但是说不出道理来，有时候会觉得：引起（数学的）学习数学的兴趣，往往就是在这样的问题中，才能引发学生对数学的好奇心。

还有一个，就是尝试让学生自己得到结论。这是很重要的一种教学方法。这个，在国家的教育质量监测中已经每年都有这样的题了，这个题叫问题解决，就是基本上建立两个原则，这两个原则一个叫做满意原则，一个叫做加分原则。这个其实要教孩子们会用数学的眼光来观察问题。比如这个（我这个讲过几次了）超市的问题。超市问题是给教育质量监测小学四年级出的第一道问题解决的问题，就是开放性问题：有一条道路连接两个小区，计划在道边修个超市，你认为建在什么地方？为什么?什么叫满意原则呢？就是孩子们思考的思维的过程，和他得到的结论是一致的，就可以满意了。那么，这道题很多学生答：应该建在中间儿，因为大家走一样远。这个理由和结论是一致的，我们就认为是对的了。那什么叫加分原则呢？如果孩子们思考的更加深刻一点，比如有的孩子答：要知道两个小区人数的多少，按居民人数做个比例来建超市，像这样更好，可以再加分，比如加2分，这样的方法现在已经开始在教育质量监测中体现。

什么叫孩子们会想问题呢？刚才说的是孩子们会问问题（这是一方面）；还有一个，就是孩子们能够自己得到结论（这是一方面）；还有一个更难的，就是孩子们能够推出一些结论，就是会用数学的思维思考问题，能够自己得到一些结论，很重要。我非常希望这一次教材编写完之后，就是在这一次课标指引下的教学，能够更加关注学生的思维能力的培养，让孩子们学会想问题，让孩子们学会做事情，这就是四基的基本活动经验，也是培养核心素养的基本前提。

比如，我刚才谈到这个问题，三位数乘两位数这件事情，是不是这个结论孩子能够得到？为什么孩子可能能得到？因为你讲两位数乘一位数，两位数乘两位数的时候已经用到了乘法分配律，因此你讲完三位数乘一位数之后，三位数乘两位数，孩子们应当能够想到这个乘法分配律，能够尝试之后，把那个两位数变成两个和的形式，然后自己得到运算方法。这个是不是可以？这个很重要。还有一个，知道三角形内角和，孩子能不能够更一般地知道四边形的内角和应该是多少呢？知道三角形两边之和大于第三边，那么，是不是能得到四边形三边之和要大于第四边？像这样的东西，就是自然的推论，这样的一些想法是数学的基本想法之一。

我刚才已经讲过，数学基本想法就是把未知的化为已知的，就是把不知道的化为我们学过的、已知的，这是一种想法。还有一种想法是，把我们学过的东西（这个是正面的）能够推到更一般的情况里，这是思维的一个想法。比如，会用数学的语言来表达问题：什么是“除法是乘法的逆运算”？刚才，我表达了。这样的结论，孩子能不能够举例说明“除法的商其实是乘法中一个乘数”？像这样的事情能不能说出来？能不能够理解“两边之和大于第三边”说的是什么事情？事实上两边之和大于第三边讲的是两条边的边长之和大于第三边的边长，这个量化的概念，不是现象的描述，而是数学进入了量化的概念。这样的事情，是不是孩子们能够讲出来？

我曾经尝试过，我希望孩子们理解，概念表达让孩子们理解，产生概念是有意义的。我现在想举例说明一件事情，平行四边形的面积。平行四边形的面积，现在我们讲课都用方格纸，把这边儿裁出一个三角形，挪到这边儿来，用方格纸看，这个正好构成了一个长方形，这样的话我们得到了底乘高是平行四边形的面积。是不是可以尝试这么讲：一个长方形，我们推一下，斜着推一下的话，变成了一个平行四边形，这个平行四边形的面积和原来的长方形的面积比，哪个大哪个小呢？孩子们可能一开始得不到平行四边形面积要小于这个长方形的面积;如果得不到的话，那么你就一直往下推，推到一定程度，孩子们能看出来：这个平行四边形的面积要小于这个长方形的面积。既然平行四边形的面积小于长方形的面积，但是在推的过程中，边长没有变化，甚至周长也没有变化，那么变化的是什么呢？变化的是角度。孩子如果说角度的话，你可以跟孩子们说“关于角度变化这个问题初中再讲”，这个就是正弦函数了。还有一个变化，就是这两条边儿靠近了。那么这两条边儿靠近了，怎么来表达这个近呢？那么就引出了高的概念，高是表达两条平行线之间的距离，因此能够表达平行四边形这两条平行线之间的距离。因此，从长方形的底乘高推广到平行四边形的底乘高。孩子能不能在老师的启发下,自己得到这个结论？如果可能的话，最后再用方格纸来验证这个结论是不是对的。

所以，所有的教学，不一定都是直接教给孩子们结论，或者用很明显的事实来推导结论。在教学过程中可以尝试着在必要的时候引出概念，让孩子们知道引出概念的必要性，知道数学概念是对一种数学现象、或者是对一种自然现象的一种表达。然后，如果孩子们能自己得到结论的话，老师引导孩子们通过这个方格纸或其他的方法来验证这个结论。这样的教学，能够很好的启发学生思考，这是很必要的一种教学形式。

还有一种，就是孩子们会不会想问题，最关键的就是让孩子们能够提出问题。我知道有很多老师已经在尝试这样的教学。如果孩子们能够提出有数学意义的问题，那孩子们肯定是会思考问题。事实上，刚才我们说的孩子们能够自己得到结论，孩子们也会思考问题;甚至我们再往前说的，孩子们能够论证这个结论的正确性，也是会思考问题。因此现在总结，孩子们会思考问题，最起码有三个步骤，一个步骤就是老师把条件和结果都给他了，他会说出其中的道理；还有一个，老师给出情况，他能够推出结论；还有一个，问题本身都是孩子提出来的，这样的话，对培养孩子们、对教学有一些好处。

我说的这个题，是师大附小幼儿园做的，挺有意思。我一个学生叫张丹，她是北师版教材主编，数学教材组的。有一次，她跟我讨论情境的问题。我跟她说“情境不是重要的，重要的是问题。你想好问题之后，再回想情境。”在一般情况下，什么情境啊都能提出问题。后来张丹说，能吗？我说能，你说吧。后来她就说滑滑梯的问题，我说滑滑梯的问题是很好的情境。因为你可以启发孩子们思考什么样的滑梯滑的快？孩子们会说：陡。那么，这就进入到数学了。你要描述什么样的滑滑梯是陡的呢？孩子们会说：高。你再启发孩子们思考：光高是陡吗？那孩子们就会说了，就是这个对边和这个边之间的关系，这个比值越……比的概念出现了；或者讲这个角越大……角的概念也出现了，不就引入数学了吗？然后，我讲了这个故事之后，幼儿园的老师创造了这么一个情景，拿两个板儿（有一个板儿，还有一个长方体的柱子的积木），她让幼儿园孩子分小组说，最平缓的，稍微立一下、稍微陡一点儿，再立一下、陡一点儿。完了，拿小汽车，让孩子看：什么样的滑梯，小汽车滑的远？最后，孩子们提出问题，并且得到结论。那堂教学，孩子们玩的是挺高兴的。但是无论如何，这个问题是很难的问题，就是如何启发孩子提出问题，这是很难的问题，但是这样的教学也是可以尝试的。

这样的话，我今天基本就讲了数学课程随着这次课标修改基本完成之后，它可能引发的变化是什么，主要谈了这些变化对教学的启示是什么。

首先我谈了核心素养，核心素养要有阶段性，因此核心素养是三会，在小学阶段和初中阶段的表现是不一样的。小学阶段更具体，更侧重于意识。在初中阶段可能侧重了一些能力，侧重了一些观念。

第二件事情，就是课程的变化，主要是把负数、方程和反比例移到初中。初中整体的构想是：几何要强调直观，代数要强调论证。具体措施是：在几何中增加了几何作图，在代数中强调了整体性，就是一定抓住单位紧紧不放，在同样的单位下才能比较大小，在同样的单位下才能进行加减运算。乘除运算是整数的运算和单位运算之间的关系。

第三件事情，就是基于这个变化，特别是，代数的整体性是什么表现；最后，就是培养孩子们的思维。思维，我大概谈了三个层次。

其实提出这样的问题的时候，我在脑子里想这样的教学是很困难的，所以给老师们也提出了一个思考或者操作的这么一个空间，希望老师们在未来的教学过程中，能够实践、能够尝试、能够创造更好的经验。谢谢大家！