让学生的思维多“飞”一会儿

在一堂“因数与倍数”的课上，教师安排了找出36的因数的环节，并提供了学生展示答案的机会。4位学生走上讲台，写下了他们的答案：

（1）1、36,2、18,3、12,4、9,6；

（2）6、6,4、9,18、2,12、3,1、36；

（3）4、9,1、36,2、18,3、12,6、6；

（4）1、36,6、6,4、9,2、18,12、3。

在呈现学生的思维后，教师指出“6、6”的写法是重复，并强调寻找因数要注意“准、全、序”，然后，给出了标准顺序：1、2、3、4、6、9、12、18、36。练习环节要学生找20、30等的因数，教师就按照标准顺序呈现不同的因数。

【学生的答案与教师的板书】
  

在我看来，这位教师能有意识地把“找出36的因数”设计成大问题，并注意呈现学生不一样的思路，无疑已是教学的一大进步，强调找因数要“准、全、序”也是合适的。只是稍显遗憾的是，教师呈现“标准顺序”快了一些，过早地把学生的答案“收”到了标准答案上。

在公开课和日常教学中，呈现学生的思维后再聚焦教材或教师认为最优的算法、思路是最司空见惯的现象。这当然情有可原，因为课时目标就在前方，它牵引着教师的教学走向。而学生不一样的思维，以教学目标的尺子一对照，自然并非都值得一一探讨。何况，下课的铃声总是准时响起，哪有时间兼顾差异？

只是，过早地聚焦标准答案，得到的是教学的流畅和教学目标的“有效”达成，遗落的却是对学生个体差异的关注，对学生课堂即时状态的理解，本质上是关注了教学目标而忽视了“人”。台湾名师李玉贵说，好的课堂是上着上着，教师不见了。而我们的课堂上，常常是上着上着，学生不见了！或者说，是学生的丰富性、差异性、独特性不见了。这其中有班级授课制的机制性限制，也有我们教育理念上的遮蔽和教学技巧上的缺失。

其实，当学生的多元思维呈现之后，教师的教学才有了用武之地。教师要做得是引导学生以不同的思路为整体的思考对象，辨析其中的联系与区别，抽象出所有算法的合理或不合理之处。而此时，教材上或教师认为最优的算法不宜过早给出，如果它已经是学生思路的一种也不宜过早“加冕”，而是要“等量齐观”。

有一个问题组是值得一问的：这些算法都对吗？你都能看得懂吗？它们有什么联系和区别？（低段转换话语：一样吗）能否将这些算法分分类并取个名字？（备用）明眼人一眼就能看出这四个问题涉及的思维层次，在这样的问题组引导下，学生关注的就不仅仅是答案，而是不同答案背后的联系。而学生对答案背后联系的认知，自然有助于他理解教材上所谓“最优”的算法。

其实，学生自己生长出来的算法是他能够理解、有意义的算法，而教材上的算法常常是忽略了问题的情境、数据特点的“通性通法”，不存在绝对的“最优”。而这一点，常常被我们忽略。而当学生能根据数据、情境灵活选择算法时，此时的算法才是“最优”的，而这背后是一种重要的思维品质：灵活。

回到开头的案例，学生的算法何尝没有注意“准、全、序”？只是学生的“全”还保留了更多思维的痕迹，比如“6、6”多半是根据“六六三十六”而来；只是学生的“序”可能只是把口诀想得全的序，而并非要按因数从小到大排列的序。如果教师建议学生只写一个6，但允许学生延续自己的思维会怎样呢？他可能会在后面的练习中发现“东一榔头西一锤”的思考有遗漏的风险，从而寻找更好的“序”，而这种序也可能并可以是由小到大、由大到小、由最接近的一对因数到1和数字本身等这样的“序”。标准答案不重要，学生体验到思考要从无序到有序才重要，而此时，教师“准、全、序”的教学预设不是更好地达成了吗？

让学生的思维多飞一会儿，会让教学以更加波澜壮阔的方式向前推进，会使学生获得更丰富的学习体验。而最关键的是，当学生的思维飞起来，课堂中也就有了“人”的回归和“教”的智慧。

【看出问题没？30的因数漏了一对！是否说明这“序”也没有深入教师的内心？】